2020年5月5日火曜日


ラング線形代数学(上)
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学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題6の解答を求めてみる。


  1. V 、 W の基底をそれぞれ

    v 1 , … , v n w 1 , … , w n

    とする。

    V から W への写像 f を

    f : V → W f ∑ k = 1 n a k v k = ∑ k = 1 n a k w k

    とする。

    このとき、 V の任意の元

    u = ∑ k = 1 n a k v k v = ∑ k = 1 n b k v k

    に対して

    f u = f v

    ならば、

    ∑ k = 1 n a k f v k = ∑ k = 1 n b k f v k ∑ k = 1 n a k - b k f v k = O ∑ k = 1 n a k - b k w k = O k = 1 , … , n a k - b k = 0 a k = b k

    よって、

    u = w

    ゆえに f は単射である。

    また、 w を W の任意の元とし、

    w = ∑ k = 1 n c k w k

    とおくと、

    f ∑ k = 1 n c k v k = ∑ k = 1 n c k f v k = ∑ k = 1 n c k w k = w

    よって f は全射である。

    ゆえに、 f は全単射である。

    また、

    f u + v = f ∑ k = 1 n a k u k + ∑ k = 1 n b k v k = f ∑ k = 1 n a k + b k v k = ∑ k = 1 n a k + b k w k = ∑ k = 1 n a k w k + ∑ k = 1 n b k w k = f u + f v f c ∑ k = 1 n b k v k = f ∑ k = 1 n c b k v k = ∑ k = 1 n c b k w k = c ∑ k = 1 n b k w k = c f v

    よって、 f は線形写像である。

    ゆえに、 f は同形写像なので、 U、 Vは同形である。

    （証明終）

時刻: 11:00 ラベル: ,

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