数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 濃度 - 実数全体の集合から実数全体の集合への写像全体の集合、実数のべき集合、対等

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.2(濃度)、問題17の解答を求めてみる。

17. 
    

    問14より 実数全体の集合から整数全体の集合のべき集合への写像全体の集合と

    $P\left(\text{ℝ}\times \text{ℤ}\right)$

    は対等である。

    また、整数全体の集合のべき集合と実数全体の集合は対等である。

    さらに、

    $\begin{array}{l}\mathrm{card}\left(\text{ℝ}\times \text{ℤ}\right)=\mathrm{card}\text{ℝ}\\ \mathrm{card}P\left(\text{ℝ}\times \text{ℤ}\right)=\mathrm{card}P\left(\text{ℝ}\right)\end{array}$

    である。

    よって、 実数全体の集合から 実数全体の集合への写像は実数全体の集合のべき集合と対等である。

    ゆえに濃度は 等しい。

    （証明終）