数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - ド・モアブルの公式と複素数のn乗根 - 三角関数(正弦と余弦)、倍角、展開、実部と虚部

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、ド・モアブルの公式と複素数のn乗根の問10の解答を求めてみる。

10. 
    

    余弦の3倍角について。

    $\begin{array}{l}\cos 3\theta +i\sin 3\theta \\ ={\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^3\\ ={\cos }^3\theta +3\left({\cos }^2\theta \right)\left(i\sin \theta \right)+3\left(\cos \theta \right){\left(i\sin \theta \right)}^2+{\left(i\sin \theta \right)}^3\\ ={\cos }^3\theta +3i{\cos }^2\theta \sin \theta -3{\sin }^2\theta \cos \theta -i{\sin }^3\theta \\ ={\cos }^3\theta -3{\sin }^2\theta \cos \theta +i\left(3{\cos }^2\theta cin\theta -{\sin }^3\theta \right)\\ \cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3{\sin }^2\theta \cos \theta \end{array}$

    正弦の4倍角について。

    $\begin{array}{l}\sin 4\theta \\ =\mathrm{Im}\left(\cos 4\theta +i\sin 4\theta \right)\\ =\mathrm{Im}\left({\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^4\right)\\ =4{\cos }^3\theta \sin \theta +4i^2\cos \theta {\sin }^3\theta \\ =4{\cos }^3\theta \sin \theta -4\cos \theta {\sin }^3\theta \end{array}$

    余弦の5倍角について。

    $\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left(\cos 5\theta +i\sin 5\theta \right)\\ =\mathrm{Re}\left({\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^5\right)\\ ={\cos }^5\theta +10{\cos }^3\theta {\left(i\sin \theta \right)}^2+5\left(\cos \theta \right){\left(i\sin \theta \right)}^4\\ ={\cos }^5\theta -10{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta +5\cos \theta {\sin }^4\theta \end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, I, sin, cos, sqrt
import random

print('10.')

theta = symbols('θ')


class MyTestCase(TestCase):
    def test_cos3(self):
        self.assertEqual(
            cos(3 * theta),
            (cos(theta) ** 3 -
             3 * sin(theta) ** 2 * cos(theta)).simplify())

    def test_sin4(self):
        self.assertEqual(
            sin(4 * theta),
            (4 * cos(theta) ** 3 * sin(theta) -
             4 * cos(theta) * sin(theta) ** 3).simplify())

    def test_cos5(self):
        for theta in range(-10, 11):
            self.assertEqual(
                float(cos(5 * theta)),
                float(cos(theta) ** 5 - 10 * cos(theta) ** 3 * sin(theta) ** 2 +
                      5 * cos(theta) * sin(theta) ** 4))


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py -v
10.
test_cos3 (__main__.MyTestCase) ... ok
test_cos5 (__main__.MyTestCase) ... ok
test_sin4 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.439s

OK
%