数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の核と像 - 任意階数の導関数を持つ関数のなすベクトル空間、微分写像、微分方程式の解、核、定数関数

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   g を V の任意の元とする。

   $h$

   を問題の微分方程式の1つの解とする。

   $\sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^{k}h}{d{t}^k}=g$

   f を微分方 程式の任意の解とする。

   $\sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^{k}f}{d{t}^k}=g$

   また、 c と定数関数とする。

   このとき、

   $\begin{array}{l}\sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^{k}h}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^{k}f}{d{t}^k}\\ \sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^k}{{\mathrm{dt}}^k}\left(h+c\right)=\sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^{k}f}{{\mathrm{dt}}^k}\\ \sum _{k=0}^m{a}_k\frac{d^k}{{\mathrm{dt}}^k}\left(\left(h+c\right)-f\right)=0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}h+c-f=0\\ f=h+c\end{array}$

   となり、 問題の微分方程式の解 f は微分方を試のある1つの解 h と核の和として表すことができる。