数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - ベクトル空間、部分空間、直和、射影、成分 | Kamimura's blog

2020年4月28日火曜日

数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - ベクトル空間、部分空間、直和、射影、成分

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題14の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} v_{1} = u_{1} + w_{1} \\ v_{2} = u_{2} + w_{2} \\ u_{1}, u_{2} \in U \\ w_{1}, w_{2} \in W \end{array}$

を V の任意の元とする。

$\begin{array}{l} P_{1} (v_{1} + v_{2}) \\ = P_{1} ((u_{1} + w_{1}) + (u_{2} + w_{2})) \\ = P_{1} ((u_{1} + u_{2}) + (w_{1} + w_{2})) \\ = u_{1} + u_{2} \\ = P_{1} (u_{1} + w_{1}) + P_{1} (u_{2} + w_{2}) \\ = P_{1} (v_{1}) + P (v_{2}) \\ P_{1} (c v_{1}) \\ = P_{1} (c (u_{1} + w_{1})) \\ = P_{1} (c u_{1} + c w_{1}) \\ = c u_{1} \\ = c P_{1} (u_{1} + w_{1}) \\ = c P_{1} (v_{1}) \end{array}$

よって、

$P_{1} : V \to V$

は線形写像である。

$P_{2} : V \to V$

も同様。

$\begin{array}{l} (P_{1} + P_{2}) (v_{1}) \\ = P_{1} (v_{1}) + P_{2} (v_{1}) \\ = u_{1} + w_{1} \\ = v_{1} \end{array}$

よって、

$P_{1} + P_{2} : V \to V$

は恒等写像である。

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