数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元 - 始集合と終集合の次元の比較、全射、基底

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   V の基底を

   $\left\{v_1,\dots ,v_n\right\}$

   とする。

   v を V の任意の元とし、

   $v=\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k$

   とおくと、

   $F\left(v\right)=\sum _{k=1}^n{c}_{k}F\left(v_k\right)$

   よって、線形写像 F の像は

   $\left\{F\left(v_1\right),\dots ,F\left(v_n\right)\right\}$

   により生成 されるベクトル空間である。

   よって この次元は n 以下である。

   また、問題の仮定より、

   $n=\dim V<\dim W$

   である。

   ゆえに、 問題の線形写像とは全射ではありえない。

   （証明終）