数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の核と像 - 核が零ベクトルのみで始集合(定義域)と終集合の次元が同じ線形写像、値域、基底、一次独立

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   V の基底を

   $\left\{v_n,\dots ,v_n\right\}$

   とする。

   v を V の任意の元とし、

   $v=\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k$

   とおく。

   v の線形写像 F による像は、

   $\begin{array}{l}F\left(v\right)\\ =F\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k\right)\\ =\sum _{k=1}^n{c}_{k}F\left(v_k\right)\end{array}$

   また、

   $\sum _{k=1}^n{c}_{k}F\left(v_k\right)=O$

   を満たす

   $\begin{array}{l}{c}_k\\ \left(k=1,...,n\right)\end{array}$

   を考える。 問題の仮定より線形写像 F の核は

   $\left\{O\right\}$

   なので、

   $\sum _{k=1}^n{c}_k{v}_k=O$

   これと

   $\left\{v_n,\dots ,v_n\right\}$

   が V の基底、 すなわち1は独立であることから

   $c_1=\dots =c_k=0$

   よって、

   $\left\{F\left(v_n\right),\dots ,F\left(v_n\right)\right\}$

   は1次独立である。

   また、問題の仮定より W の次元は n なので、

   $\left\{F\left(v_n\right),\dots ,F\left(v_n\right)\right\}$

   は W の基底である。

   ゆえに、 W の任意の元 w は

   $\begin{array}{l}w\\ =\sum _{k=1}^n{d}_{k}F\left(v_k\right)\\ =F\left(\sum _{k=1}^n{d}_k{v}_k\right)\end{array}$

   と表すことができるので、 W は F の 像全体と一致する。

   （証明終）