2020年4月5日日曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.2(ベクトル空間)、問題3の解答を求めてみる。



    1. a、 b が1次従属であるとし、

      c 1 0 c 1 a + c 2 b = 0

      とする。

      a = - c 2 c 1 b a × b = a 2 b 3 - a 3 b 2 , a 3 b 1 - a 3 b 1 , a 1 b 2 - a 2 b 1 = - c 2 c 1 b 2 b 3 - b 3 b 2 , b 3 b 1 - b 3 b 1 , b 1 b 2 - b 2 b 1 = 0

      同様にして

      c 2 0

      のとき

      a × b = 0

      逆に、

      a × b = O a 2 b 3 - a 3 b 2 = 0 a 3 b 1 - a 1 b 3 = 0 a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0

      のとき、

      c 1 a + c 2 b = O

      を満たす

      c 1 , c 2

      を 考える。

      { c 1 a 1 + c 2 b 1 = 0 c 1 a 2 + c 2 b 2 = 0 c 1 a 3 + c 3 b 3 = 0 c 1 a 1 a 2 + c 2 a 2 b 1 = 0 c 1 a 1 a 2 + c 2 a 1 b 2 = 0 c 2 a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0 c 2 0 = 0

      よって、

      c 2 0

      でもよい。

      ゆえに、 a、 b は1次従属である。

      以上より、必要 十分条件である。

      (証明終)


    2. ベクトル a、 b、 c が1次従属であるとし、

      x 0 x a + y b + z c = 0

      とする。

      このとき、

      a = - y b - z c x a × b · c = a 2 b 3 - a 3 b 2 c 1 + a 3 b 1 - a 1 b 3 c 2 + a 1 b 2 - a 2 b 1 c 3 = 1 x - y b 2 - z c 2 b 3 - - y b 3 - z c 3 b 2 c 1 + 1 x - y b 3 - z c 3 b 1 - - y b 1 - z c 1 b 3 c 2 + 1 x - y b 1 - z c 1 b 2 - - y b 2 - z c 2 b 1 c 3 = 0

      y または z が零ではない場合も同様に

      a × b · c = 0

      逆に、

      a × b · c = 0 a 2 b 3 - a 3 b 2 c 1 + a 3 b 1 - a 1 b 3 c 2 + a 1 b 2 - a 2 b 1 c 3 = 0

      の場合、

      x a + y b + z c = O

      を満たす x、 y、 z を考える。

      { x a 1 + y b 1 + z c 1 = 0 x a 2 + y b 2 + z c 2 = 0 x a 3 + y b 3 + z c 3 = 0 x a 1 a 2 + y a 2 b 1 + z a 2 c 1 = 0 x a 1 a 2 + y a 1 b 2 + z a 1 c 2 = 0 y a 1 b 2 - a 2 b 1 - z a 1 c 2 - a 2 c 1 = 0 y a 1 b 2 - a 2 b 1 c 3 - z a 1 c 2 - a 2 c 1 c 3 = 0 y a 2 b 3 - a 3 b 2 c 1 - z a 2 b 3 - a 3 c 2 c 1 = 0 y a 3 b 1 - a 3 b 1 c 2 - z a 3 b 1 - a 1 b 3 c 2 = 0 y a × b · c = 0

      よって、

      y 0

      でもよい。

      ゆえに、 a 、 b、 c は 1次従属である。

      以上より、必要な条件である。

      (証明終)

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