2020年3月18日水曜日


新装版 数学読本3
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学習環境

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、いくつかの練習問題の問42の解答を求めてみる。


  1. 平行四辺形 OA CB の頂点 O を基準とする A、D、B、Eの位置ベクトルをそれぞれ、

    a → k a → b → l b → k > 1 , l > 1

    とする。

    線分 AD の中点 P の 位置ベクトルは、

    p → = a → + b → 2

    線分 DE の中点 R の位置ベクトルは、

    r → = d → + e → 2 = k a → + l b → 2

    また、点 C の 位置ベクトルについて、

    A C : C E = t : 1 - t B C : C D = s : 1 - t

    とおけば

    c → = 1 - t a → + t e → = 1 - t a → + t l b → = 1 - s b → + s d → = 1 - s b → + s k a → { 1 - t = s k t l = 1 - s t = 1 - s k 1 - s k l = 1 - s l - 1 = s k l - 1 s = l - 1 k l - 1 c → = k l - 1 k l - 1 a → + k l - 1 - l + 1 k l - 1 b → = k l - 1 k l - 1 a → + k - 1 l k l - 1 b →

    よって、 点 Q の位置ベクトルは

    q → = k l - 1 2 k l - 1 a → + k - 1 l 2 k l - 1 b →

    以上から

    P R → = 1 2 k - 1 a → + 1 2 l - 1 b → P Q → = q → - p → = 1 2 k l - 1 k l - 1 - 1 a → + 1 2 k - 1 l k l - 1 - 1 b → = 1 2 k l - 1 1 - k a → + 1 - l b → = - 1 k l - 1 P R →

    よって3点 P、 Q、 R は一直線上にある。

    （証明終）

時刻: 12:00 ラベル:

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