数学 - Python - 新しい数とその表示ー複素数と複素平面 - 複素平面 - 複素の絶対値 - 共役複素数、積、等式の証明

新装版 数学読本3
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windowsアプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPadアプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門(楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示ー複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、複素の絶対値の問4の解答を求めてみる。

4. 
   

   左辺の2乗について。

   $\begin{array}{l}{\left|\alpha -\beta \right|}^2\\ =\left(\alpha -\beta \right)\stackrel{-}{\left(\alpha -\beta \right)}\\ =\left(\alpha -\beta \right)\left(\stackrel{-}{\alpha }-\stackrel{-}{\beta }\right)\\ =\alpha \stackrel{-}{\alpha }-\alpha \stackrel{-}{\beta }-\beta \stackrel{-}{\alpha }+\beta \stackrel{-}{\beta }\\ ={\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2-\alpha \stackrel{-}{\beta }-\beta \stackrel{-}{\alpha }\end{array}$

   右辺の2乗について。

   $\begin{array}{l}{\left|1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right|}^2\\ =\left(1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right)\stackrel{-}{\left(1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right)}\\ =\left(1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right)\left(1-\alpha \stackrel{-}{\beta }\right)\\ =1-\alpha \stackrel{-}{\beta }-\stackrel{-}{\alpha }\beta +\stackrel{-}{\alpha }\alpha \beta \stackrel{-}{\beta }\\ =1+{\left|\alpha \right|}^2{\left|\beta \right|}^2-\alpha \stackrel{-}{\beta }-\beta \stackrel{-}{\alpha }\end{array}$

   場合分け。

   $\left|\alpha \right|=1$

   の場合、

   $\begin{array}{l}{\left|\alpha -\beta \right|}^2=1+{\left|\beta \right|}^2-\alpha \stackrel{-}{\beta }-\beta \stackrel{-}{\alpha }\\ {\left|1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right|}^2=1+{\left|\beta \right|}^2-\alpha \stackrel{-}{\beta }-\beta \stackrel{-}{\alpha }\end{array}$

   よって

   $\begin{array}{l}{\left|\alpha -\beta \right|}^2={\left|1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right|}^2\\ \left|\alpha -\beta \right|=\left|1-\stackrel{-}{\alpha }\beta \right|\end{array}$

   ゆえに、問題の等式は成り立つ。

   $\left|\beta \right|=1$

   の場合も同様。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, I, sin, cos

print('4.')

theta, a, b = symbols('theta, a, b', real=True)
alpha = cos(theta) + I * sin(theta)
beta = a + b * I


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        self.assertEqual(abs(alpha - beta).simplify(),
                         abs(1 - alpha.conjugate() * beta).simplify())

    def test2(self):
        self.assertEqual(abs(beta - alpha).simplify(),
                         abs(1 - beta.conjugate() * alpha).simplify())


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py -v
4.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.875s

OK
%