数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 - 加法、スカラー倍、座標

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   加法に関して。

   $\begin{array}{l}F\left(v+w\right)\\ =\left(f\left(v+w\right),g\left(v+w\right)\right)\\ =\left(f\left(v\right)+f\left(w\right),g\left(v\right)+g\left(w\right)\right)\\ =\left(f\left(v\right),g\left(w\right)\right)+\left(f\left(v\right),g\left(w\right)\right)\end{array}$

   スカラー倍に関して。

   $\begin{array}{l}F\left(cv\right)\\ =\left(f\left(cv\right),g\left(cv\right)\right)\\ =\left(cf\left(v\right),cg\left(v\right)\right)\\ =c\left(f\left(v\right),g\left(v\right)\right)\\ =cF\left(v\right)\end{array}$

   よって、写像 F は 線形写像である。

   （証明終）

   一般化。

   $\begin{array}{l}{f}_i:V\to \text{ℝ}\\ \left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

   が線形写像ならば、

   $\begin{array}{l}f:V\to {\text{ℝ}}^n\\ f\left(v\right)=\left(f_1\left(v\right),\dots ,f_n\left(v\right)\right)\end{array}$

   は線形写像である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix
from sympy.plotting import plot_parametric


print('6.')

t, u, v, c = symbols('t, u, v, c')
# RからRへの線形写像
f = t
g = 2 * t
# RからR^2への写像
F = Matrix([f, g])


class MyTestCase(TestCase):
    def test_addition(self):
        self.assertEqual(F.subs({t: u + v}), F.subs({t: u}) + F.subs({t: v}))

    def test_scalar_mul(self):
        self.assertEqual(F.subs({t: c * v}), c * F.subs({t: v}))


p = plot_parametric(f, g,
                    legend=True,
                    show=False)

p.show()
p.save('sample6.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test_addition (__main__.MyTestCase) ... ok
test_scalar_mul (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.042s

OK
%