数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 曲線の長さ - 三角関数(正弦と余弦)、置換積分法

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、2(曲線の長さ)の練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}X\text{'}\left(t\right)=\left(1-\cos t,\sin t\right)\\ \int \sqrt{{\left(1-\cos t\right)}^2+{\sin }^{2}t}\mathrm{dt}\\ =\int \sqrt{1-2\cos t+1}\\ =\int \sqrt{2-2\cos t}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}\int \sqrt{1-\cos t}\mathrm{dt}\\ u=\cos t\\ \frac{du}{\mathrm{dt}}=-\sin t\\ \int \sqrt{1-\cos t}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{\sqrt{1-u}}{-\sin t}du\\ u^2={\cos }^{2}t\\ u^2=1-{\sin }^{2}t\\ {\sin }^{2}t=1-u^2\end{array}$

      場合分け。

      $\begin{array}{l}0\le t\le \pi \\ \sin t=\sqrt{1-u^2}\\ \pi \le t\le 2\pi \\ \sin t=-\sqrt{1-u^2}\\ {\int }_0^{2\pi }\sqrt{1-\cos t}\mathrm{dt}\\ =-{\int }_1^{-1}\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{1-u^2}}du+{\int }_{-1}^1\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{1-u^2}}du\\ ={\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1+u}}du+{\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1+u}}du\\ =2{\left[2\sqrt{1+u}\right]}_{-1}^1\\ =4\sqrt{2}\end{array}$

      よって、 求める曲線の長さは

      $\sqrt{2}·4\sqrt{2}=8$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}0\le t\le \frac{\pi }{2}\\ \sin t=\sqrt{1-u^2}\\ \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-\cos t}\mathrm{dt}\\ =-{\int }_1^0\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{1-u^2}}du\\ ={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+u}}du\\ ={\left[2\sqrt{1+u}\right]}_0^1\\ =2\sqrt{2}-2\\ \sqrt{2}\left(2\sqrt{2}-2\right)\\ =4-2\sqrt{2}\end{array}$