数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 多変数の関数 - グラフと等位線 - 等位線が直線と放物線のグラフ、x軸とy軸、平方根

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第19章(多変数の関数)、1(グラフと等位線)の練習問題12の解答を求めてみる。

12. 
    

    c が零の場合。

    $\begin{array}{l}\frac{x{y}^2}{x^2+y^2}=0\\ \left(x=0\wedge y\ne 0\right)\vee \left(x\ne 0\wedge y=0\right)\end{array}$

    よって、 直線 x 軸 または y 軸である。

    $c\ne 0$

    の場合。

    $\begin{array}{l}\frac{x{y}^2}{x^2+y^4}=c\\ x{y}^2=c{x}^2+c{y}^4\\ c{x}^2-y^{2}x=-c{y}^4\\ x^2-\frac{y^2}{c}x=-y^4\\ {\left(x-\frac{y^2}{2c}\right)}^2-\frac{y^4}{4c^2}=-y^4\\ {\left(x-\frac{y^2}{2c}\right)}^2=\left(\frac{1}{4c^2}-1\right)y^4\\ x-\frac{y^2}{2c}=\pm \sqrt{\frac{1}{4c^2}-1}{y}^2\\ x=\left(\pm \sqrt{\frac{1}{4c^2}-1}+\frac{1}{2c}\right)y^2\\ \frac{1}{4c^2}-1\ge 0\\ 1-4c^2\ge 0\\ \left|c\right|\le \frac{1}{2}\end{array}$

    よって等位線は放物線である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot, sqrt, Rational
from sympy.plotting import plot3d

print('12.')

x, y = symbols('x, y', real=True)
p = plot3d(x * y ** 2 / (x ** 2 + y ** 4), show=False)

p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.save('sample12.png')

p = plot(*[(sign * sqrt(1 / (4 * c ** 2) - 1) + 1 / (2 * c)) * x ** 2
           for c in [Rational(1, d) for d in [-2, -3, -4, 4, 3, 2]]
           for sign in [-1, 1]],
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample12_1.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample12.py
12.
%