数学 - Python - 代数学 - 1次方程式, 2次方程式 - 虚数、複素数、実部と虚部

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(1次方程式, 2次方程式 )、練習問題18、19の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} (a^{2} - 2 a b + 3) + (a^{2} - 2 a - 8) i = 0 \\ a^{2} - 2 a - 8 = 0 \\ (a - 4) (a + 2) = 0 \\ a = - 2, 4 \\ 4 + 4 b + 3 = 0 \\ b = - \frac{7}{4} \\ 16 - 8 b + 3 = 0 \\ b = \frac{19}{8} \end{array}$

よって、求める a、 b の値は

$a = - 2, b = - \frac{7}{4}$

または

$a = 4, b = \frac{19}{8}$
$\begin{array}{l} b \neq 0 \\ {(a + b i)}^{3} \\ = a^{3} + 3 a^{2} b i + 3 a {(b i)}^{2} + {(b i)}^{3} \\ = (a^{3} - 3 a b^{2}) + (3 a^{2} b - b^{3}) i \end{array}$

これが実数なので、

$\begin{array}{l} 3 a^{2} b - b^{3} = 0 \\ b (3 a^{2} - b^{2}) = 0 \\ \pm \sqrt{3} a \end{array}$

よって、定数を a で表すと、

$a^{3} - 3 a \cdot 3 a^{2} = - 8 a^{3}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, solve, Rational, I print('18, 19.') class MyTestCase(TestCase): def test18(self): a, b = symbols('a, b', real=True) s = solve(a ** 2 * (1 + I) - 2 * a * (b + I) + (3 - 8 * I)) self.assertEqual(s, [{a: -2, b: -Rational(7, 4)}, {a: 4, b: Rational(19, 8)}]) def test19(self): a = symbols('a', real=True) b = symbols('b', nonzero=True, real=True) alpha = a + b * I r, i = (alpha ** 3).as_real_imag() bs = solve(i, b) self.assertGreater(len(bs), 1) for b0 in bs: self.assertEqual(r.subs({b: b0}), -8 * a ** 3) if __name__ == "__main__": main()

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2020年3月22日日曜日

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