数学 - 線形代数学 - 線形写像 - n次元空間を定義域とする実数値関数、非負、凸集合、原像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題15の解答を求めてみる。

15. 
    

    a 、 b を 集合 S の 任意の元とする。

    この2点を結ぶ線分上点の 線形写像 L による像について、

    $\begin{array}{l}L\left(a\right)\ge 0\\ L\left(b\right)\ge 0\\ 0\le t\le 1\\ L\left(\left(1-t\right)a+tb\right)\\ =\left(1-t\right)L\left(a\right)+tL\left(b\right)\\ \ge 0\end{array}$

    よって、 線分上の点は集合 S の元である。

    ゆえに、 S は凸集合である。

    （証明終）