数学 - 線形代数学 - 線形写像 - n次元空間、線分、凸集合の線形写像による像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    

    S を

    ${\text{ℝ}}^n$

    の任意の凸な部分集合とする。
    P、 Q を S の線形写像

    $L:{\text{ℝ}}^n\to {\text{ℝ}}^n$

    による像の任意の2点とすると、 ある S の元 A、 B

    が存在して、

    $\begin{array}{l}L\left(A\right)=P\\ L\left(B\right)=Q\end{array}$

    である。

    P と Q を結ぶ線分について。

    $\begin{array}{l}0\le t\le 1\\ tP+\left(1-t\right)Q\\ =tL\left(A\right)+\left(1-t\right)L\left(B\right)\\ =L\left(tA\right)+L\left(\left(1-t\right)B\right)\\ =L\left(tA+\left(1-t\right)B\right)\\ tA+\left(1-t\right)B\in S\end{array}$

    よって、 P と Q を結ぶ線分上の点は L による S の像の元である。

    ゆえに、凸集合の線形写像による像は凸集合である。

    （証明終）