数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 交点の位置ベクトルを求めること - 平行四辺形、辺、対角線、交点、内分点、比、一次結合、一意性

新装版 数学読本3
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windowsアプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPadアプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門(楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問31の解答を求めてみる。

31. 
    
    点 A を基準とした点 B 、 C、 D の位置ベクトルをそれぞれ

    $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$

    とする。

    このとき、 辺 BC を2対1に内分する点 P の位置ベクトルは

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{p}\\ =\frac{\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}}{2+1}\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\end{array}$

    点 Q が線分 AP を

    $m:1-m$

    に内分するとする。

    また、 点 Q が 線分 BD を

    $n:1-n$

    に内分するとする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AQ}\\ =m\overrightarrow{p}\\ =\frac{1}{3}m\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}m\overrightarrow{c}\\ =\frac{1}{3}m\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}m\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\right)\\ =m\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}m\overrightarrow{d}\\ \overrightarrow{AQ}\\ =\left(1-n\right)\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{d}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}m=1-n\\ \frac{2}{3}m=n\\ \frac{2}{3}\left(1-n\right)=n\\ 2-2n=3n\\ n=\frac{2}{5}\end{array}$

    ゆえに、

    $\overrightarrow{AQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow{b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{d}$