数学 - Python - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルとその演算 - 内積を成分で表すこと - 2つのベクトルの和の長さ、差の長さ、等式、垂直

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問18の解答を求めてみる。

18. 
    
    $\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\\ {\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2\\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\\ {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\\ 4\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0\\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0\end{array}$

    よって、

    $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

    である。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, solve

print('18.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        x1, x2, y1, y2 = symbols('x1, x2, y1, y2', real=True, nonzero=True)
        a = Matrix([x1, y1])
        b = Matrix([x2, y2])
        x1 = solve((a + b).norm() - (a - b).norm())[0][x1]
        a = Matrix([x1, y1])
        self.assertEqual(a.dot(b), 0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample18.py -v
18.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.556s

OK
%