## 2020年2月9日日曜日

### 数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - 直線と平面 - 点と平面の距離、平面の法線ベクトル(平面に垂直なベクトル)、平面上の点

1. 平面

$3x+y-5z=2$

の法線ベクトル（垂直なベクトル）の1つは

$N=\left(3,1,-5\right)$

また、

$Q=\left(0,2,0\right)$

は平面上の1点である。

よって求める点と平面の距離は

$\begin{array}{l}\frac{\left|\left(\left(0,2,0\right)-\left(1,1,2\right)\right)·\left(3,1,-5\right)\right|}{∥\left(3,1,-5\right)∥}\\ =\frac{\left|\left(-1,1,-2\right)·\left(3,1,-5\right)\right|}{\sqrt{9+1+25}}\\ =\frac{\left|-3+1+10\right|}{\sqrt{35}}\\ =\frac{8}{\sqrt{35}}\end{array}$

2. $\begin{array}{l}N=\left(2,-4,1\right)\\ Q=\left(0,0,1\right)\\ \frac{\left|\left(\left(-1,3,2\right)-\left(0,0,1\right)\right)·\left(2,-4,1\right)\right|}{∥\left(2,-4,1\right)∥}\\ =\frac{\left|\left(-1,3,1\right)·\left(2,-4,1\right)\right|}{\sqrt{4+16+1}}\\ =\frac{\left|-2-12+1\right|}{\sqrt{21}}\\ =\frac{13}{\sqrt{21}}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, sqrt
from sympy.plotting import plot3d

print('20.')

def distance(p, q, n):
return abs((q - p).dot(n)) / n.norm()

class MyTestCase(TestCase):
def test_a(self):
p = Matrix([1, 1, 2])
n = Matrix([3, 1, -5])
x, y, z = 0, 2, 0
self.assertEqual(3 * x + y - 5 * z, 2)
q = Matrix([x, y, z])
self.assertEqual(distance(p, q, n), 8 / sqrt(35))

def test_b(self):
p = Matrix([-1, 3, 2])
n = Matrix([2, -4, 1])
x, y, z = 0, 0, 1
self.assertEqual(2 * x - 4 * y + z, 1)
q = Matrix([x, y, z])
self.assertEqual(distance(p, q, n), 13 / sqrt(21))

x, y = symbols('x, y')
p = plot3d((3 * x + y - 2) / 5,
-2 * x + 4 * y + 1,
show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
s.line_color = color

p.show()
p.save('sample20.png')

if __name__ == "__main__":
main()


% ./sample20.py -v
20.
test_a (__main__.MyTestCase) ... ok
test_b (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.005s

OK
%