数学 - Python - 線形代数学 - 行列 - 行列の積 - 狭義の上三角行列、対角、零、n乗、零行列

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、2(行列の積)、練習問題16の解答を求めてみる。

16. 
    
    $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}0& a_{12}\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& a_{12}\\ 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc}0& a_{12}& a_{13}\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& a_{12}& a_{13}\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& a_{12}& a_{13}\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 0& a_{12}{a}_{23}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& a_{12}& a_{13}\\ 0& 0& a_{23}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$

    よって n が2、 3 の場合成り立つ。

    nxn 正方行列、狭義の 上三角行列の場合、

    $\begin{array}{l}{A}^2\\ =\left(\sum _{k=0}^n{a}_{ik}{a}_{kj}\right)\\ =\left(\sum _{k=i+1}^n{a}_{ik}{a}_{kj}\right)\end{array}$

    また、

    $k\ge j$

    のとき

    $a_{kj}=0$

    よって、

    $\begin{array}{l}{A}^2=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& b_1& b_2& \dots & b_3\\ 0& 0& 0& b_4& \dots & b_5\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \dots & b_6\\ 0& 0& 0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right]\end{array}$

    ゆえに、 帰納法により、

    $\begin{array}{l}{A}^n\\ =A^2{A}^{n-2}\\ =O\end{array}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols, pprint
import random


print('16.')


def f(i, j):
    if i >= j:
        return 0
    return symbols(f'a{i}{j}')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        for n in range(1, 11):
            A = Matrix([[f(i + 1, j + 1) for j in range(n)]
                        for i in range(n)])
            Z = Matrix([[0 for _ in range(n)]
                        for _ in range(n)])
            self.assertEqual(A ** n, Z)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample16.py -v
16.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.319s

OK
%