数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - ラーベの定理(Raabe) 収束と発散、上に有界な単調増加列、比較定理、逆数

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題10の解答を求めてみる。

- $α > 1$
  
  の場合。
  
  $α > p > 1$
  
  となる p をとる。
  
  このときある自然数 N が存在して、
  
  $\begin{array}{l} n \geq N \\ n \in ℕ \end{array}$
  
  ならば
  
  $n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \geq p$
  
  これについて、
  
  $p - 1 = r$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} r > 0 \\ n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \geq r + 1 \\ n a_{n} - (n + 1) a_{n + 1} \geq r a_{n + 1} \\ \sum_{n = N}^{N + p - 1} (n a_{n} - (n + 1) a_{n + 1}) \geq \sum_{n = N}^{N + p - 1} r a_{n + 1} \\ N a_{N} - (N + p) a_{N + p} \geq r \sum_{n = N}^{N + p - 1} a_{n + 1} \\ r \sum_{n = N}^{N + p - 1} a_{n + 1} \leq N a_{N} \end{array}$
  
  よって、
  
  $\sum_{n = N}^{N + p - 1} a_{n + 1}$
  
  は有界である。よって、上に有界な単調増加列であることを考えれば、
  
  $\sum a_{n}$
  
  は収束する。
- $α < 1$
  
  の場合。
  
  $α < p < 1$
  
  となる p をとる。
  
  このときなる自然数 N が存在して、
  
  $\begin{array}{l} n \in ℕ \\ n \geq \max \{N, - p\} \end{array}$
  
  ならば
  
  $n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \leq p$
  
  このとき、
  
  $p - 1 = r$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} r < 0 \\ n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) \leq r + 1 \\ n a_{n} - (n + 1) a_{n + 1} \leq r a_{n + 1} \\ \sum_{n = N}^{N + p - 1} (n a_{n} - (n + 1) a_{n + 1}) \leq \sum_{n = N}^{N + p - 1} r a_{n + 1} \\ N a_{N} - (N + p) a_{N + p} \leq r \sum_{n = N}^{N + p - 1} a_{n + 1} \\ N a_{N} - (N + p) a_{N + p} \leq 0 \\ a_{N + p} \geq \frac{N a_{N}}{N + p} \end{array}$
  
  ここで、
  
  $\sum_{p = 1}^{\infty} \frac{N a_{N}}{N + p}$
  
  は発散するので、
  
  $\sum a_{n}$
  
  は発散する。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, oo, pprint, summation, Limit, plot print('10.') n, k = symbols('n, k', integer=True) an = 1 / (n ** 2 + 1) bn = n + 2 for i, o in enumerate([an, bn]): pprint(o) l = Limit(n * (o / o.subs({n: n + 1}) - 1), n, oo) s = summation(o, (n, 0, oo)) for s in [l, l.doit(), s]: pprint(s) print() print() p = plot(*[sum([o.subs({n: n0}) for n0 in range(m)]) for m in range(10)], legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save(f'sample9_{i}.png')

% ./sample10.py 10. 1 ────── 2 n + 1 ⎛ ⎛ 2 ⎞⎞ ⎜ ⎜ (n + 1) + 1⎟⎟ lim ⎜n⋅⎜-1 + ────────────⎟⎟ n─→∞⎜ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎝ n + 1 ⎠⎠ 0 ∞ ____ ╲ ╲ 1 ╲ ────── ╱ 2 ╱ n + 1 ╱ ‾‾‾‾ n = 0 n + 2 ⎛ ⎛n + 2 ⎞⎞ lim ⎜n⋅⎜───── - 1⎟⎟ n─→∞⎝ ⎝n + 3 ⎠⎠ 2 ∞ %

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2020年2月23日日曜日

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