数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 速度ベクトル、垂直、法線の方程式

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題8の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} X (t) = (\cos t, \sin t) \\ X' (t) = (- \sin t, \cos t) \\ X' (\frac{π}{3}) \\ = (- \sin \frac{π}{3}, \cos \frac{π}{3}) \\ = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \end{array}$
  
  点
  
  $\begin{array}{l} X (\frac{π}{3}) \\ = (\cos \frac{π}{3}, \sin \frac{π}{3}) \\ = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \end{array}$
  
  における速度ベクトルに垂直なベクトルの1つを求める。
  
  $\begin{array}{l} (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \cdot (x, y) = 0 \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 0 \\ - \sqrt{3} x + y = 0 \\ (1, \sqrt{3}) \end{array}$
  
  よって、求める法線の方程式は、
  
  $X = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) + t (1, \sqrt{3})$
2. $\begin{array}{l} X (t) = (\cos 3 t, \sin 3 t) \\ X' (t) = (- 3 \sin 3 t, 3 \cos 3 t) \\ X' (\frac{π}{3}) \\ = (- 3 \sin π, 3 \cos π) \\ = (0, - 3) \\ (0, - 3) \cdot (x, y) = 0 \\ - 3 y = 0 \\ y = 0 \\ (a, 0) \\ X (\frac{π}{3}) = (- 1, 0) \\ X = (- 1, 0) + t (1, 0) \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, sin, cos, Rational, sqrt from sympy.plotting import plot_parametric, plot_parametric print('8.') t = symbols('t') p = plot_parametric((cos(t), sin(t), (t, -5, 5)), (Rational(1, 2) - sqrt(3) / 2 * t, sqrt(3) / 2 + Rational(1, 2) * t, (t, -5, 5)), (Rational(1, 2) + t, sqrt(3) / 2 + sqrt(3) * t, (t, -5, 5)), (-1, -3 * t, (t, -5, 5)), (-1 + t, 0, (t, -5, 5)), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for s, color in zip(p, colors): s.line_color = color p.show() p.save('sample8.png')

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2020年2月18日火曜日

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