数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 対数関数、収束半径

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}\left|x\right|<1\\ \log \left(1+x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{x^n}{n}\\ \log \left(1-x\right)\\ =\log \left(1+\left(-x\right)\right)\\ =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{{\left(-x\right)}^n}{n}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{2n-1}\frac{x^n}{n}\\ =-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}\\ \frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}\\ =\frac{1}{2}\left(\log \left(1+x\right)-\log \left(1-x\right)\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}\right)\\ =\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\left(-1\right)}^{n-1}+1\right)\frac{x^n}{n}\\ =\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }2·\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, log, summation, pprint, plot

print('4.')

x = symbols('x')
n = symbols('n', integer=True)
f = log((1 + x) / (1 - x)) / 2
g = x ** (2 * n + 1) / (2 * n + 1)
gs = [sum([g.subs({n: k}) for k in range(n0)])
      for n0 in range(9)]

p = plot(f, *gs,
         (x, -0.9, 3),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip([f] + gs, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py
4.
⎛   ⎛x + 1⎞     ⎞
⎜log⎜─────⎟     ⎟
⎜   ⎝1 - x⎠     ⎟
⎜──────────, red⎟
⎝    2          ⎠
(0, green)
(x, blue)
⎛ 3           ⎞
⎜x            ⎟
⎜── + x, brown⎟
⎝3            ⎠
⎛ 5    3            ⎞
⎜x    x             ⎟
⎜── + ── + x, orange⎟
⎝5    3             ⎠
⎛ 7    5    3            ⎞
⎜x    x    x             ⎟
⎜── + ── + ── + x, purple⎟
⎝7    5    3             ⎠
⎛ 9    7    5    3          ⎞
⎜x    x    x    x           ⎟
⎜── + ── + ── + ── + x, pink⎟
⎝9    7    5    3           ⎠
⎛ 11    9    7    5    3          ⎞
⎜x     x    x    x    x           ⎟
⎜─── + ── + ── + ── + ── + x, gray⎟
⎝ 11   9    7    5    3           ⎠
⎛ 13    11    9    7    5    3             ⎞
⎜x     x     x    x    x    x              ⎟
⎜─── + ─── + ── + ── + ── + ── + x, skyblue⎟
⎝ 13    11   9    7    5    3              ⎠
⎛ 15    13    11    9    7    5    3            ⎞
⎜x     x     x     x    x    x    x             ⎟
⎜─── + ─── + ─── + ── + ── + ── + ── + x, yellow⎟
⎝ 15    13    11   9    7    5    3             ⎠
%