数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 数列の収束と発散、対数関数、微分、極限、ロピタルの定理

解析入門(上)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $b_n\ge 1+\sum _{k=1}^n{a}_k$

   よって、

   $\sum a_n$

   が発散するとき、

   $b_n$

   は発散する。

   また、

   $\sum a_n$

   が収束する場合、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\log \left(1+a_n\right)=0\end{array}$

   また、 ロピタルの定理より

   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\log \left(1+x\right)=\frac{1}{1+x}\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}x=1\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\log \left(1+x\right)}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+x}\\ =1\end{array}$

   よって、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\log \left(1+a_n\right)}{a_n}=1$

   ゆえに、

   $\sum \log \left(1+a_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\log b_n$

   も収束する。

   以上より、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$

   も収束する。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, summation, oo, product
print('8.')

n, k = symbols('n, k', integer=True)


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        an = 1 / n
        bn = product(1 + an.subs({n: k}), (k, 1, n))
        ans = summation(an.subs({n: k}), (k, 1, oo))
        self.assertEqual(ans, bn.limit(n, oo))

    def test2(self):
        an = 1 / n ** 2
        bn = product(1 + an.subs({n: k}), (k, 1, n))
        ans = summation(an.subs({n: k}), (k, 1, oo))
        self.assertLess(ans, oo)
        self.assertLess(bn.limit(n, oo), oo)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 3.664s

OK
%