数学 - 微分積分学 - 積分法 - 定積分に関する諸定理 - 不等式

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、8.(定積分に関する諸定理)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   
   $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

   ではない、 すなわち

   $f\left(x\right)>g\left(x\right)$

   とする。

   このとき、

   $\begin{array}{l}a<c<b\\ f\left(c\right)>g\left(c\right)\\ f\left(c\right)-g\left(c\right)>0\end{array}$

   となる c が存在する。

   f、 g は連続関数なので、 ある 正の実数

   $\delta >0$

   が存在して、

   $\begin{array}{l}c-\delta \le x\le c+\delta \\ \Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right)\\ \Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)>0\end{array}$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{dx}-{\int }_a^{b}g\left(x\right)\mathrm{dx}\\ ={\int }_a^b\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{dx}\\ ={\int }_a^{c-\delta }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{dx}+\underset{c-\delta }{\overset{c+\delta }{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{dx}+\underset{c+\delta }{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{dx}\\ >{\int }_a^{c-\delta }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{dx}+\underset{c+\delta }{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\mathrm{dx}\\ \ge 0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right)\\ \Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{dx}>{\int }_a^{b}g\left(x\right)\mathrm{dx}\end{array}$

   （証明終）