数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - ベクトルのノルム - 2つのベクトルの間の角、内積とノルムによる余弦の定義

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、4(ベクトルのノルム)の練習問題5の解答を求めてみる。

1. 三角形の 3点を
  $\begin{array}{l} A = (2, - 1, 1) \\ B = (1, - 3, - 5) \\ C = (3, - 4, - 4) \end{array}$
  各角の余弦について、
  $\begin{array}{l} \cos A \\ = \frac{(- 1, - 2, - 6) \cdot (1, - 3, - 5)}{\sqrt{1 + 4 + 36} \cdot \sqrt{1 + 9 + 25}} \\ = \frac{- 1 + 6 + 30}{\sqrt{41} \sqrt{35}} \\ = \frac{35}{\sqrt{41} \sqrt{35}} \\ \cos B \\ = \frac{(1, 2, 6) \cdot (2, - 1, 1)}{\sqrt{1 + 4 + 36} \sqrt{4 + 1 + 1}} \\ = \frac{6}{\sqrt{41 \cdot 6}} \\ \cos C \\ = \frac{(- 1, 3, 5) \cdot (- 2, 1, - 1)}{\sqrt{1 + 9 + 25} \sqrt{4 + 1 + 1}} \\ = 0 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \cos A \\ = \frac{(- 4, 1, 0) \cdot (- 1, - 3, 4)}{\sqrt{16 + 1} \sqrt{1 + 9 + 16}} \\ = \frac{1}{\sqrt{17 \cdot 26}} \\ \cos B \\ = \frac{(4, - 1, 0) \cdot (3, - 4, 4)}{\sqrt{16 + 1} \sqrt{9 + 16 + 16}} \\ = \frac{16}{\sqrt{17 \cdot 41}} \\ \cos C \\ = \frac{(1, 3, - 4) \cdot (- 3, 4, - 4)}{\sqrt{1 + 9 + 16} \sqrt{9 + 16 + 16}} \\ = \frac{- 3 + 12 + 16}{\sqrt{26 \cdot 41}} \\ = \frac{25}{\sqrt{26 \cdot 41}} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import Matrix, sqrt print('5.') def cos(a, b): return a.dot(b) / (a.norm() * b.norm()) class MyTestCase(TestCase): def test_a(self): a = Matrix([2, -1, 1]) b = Matrix([1, -3, -5]) c = Matrix([3, -4, -4]) self.assertEqual(cos(b - a, c - a), 35 / sqrt(41 * 35)) self.assertEqual(cos(a - b, c - b), 6 / sqrt(41 * 6)) self.assertEqual(cos(a - c, b - c), 0) def test_b(self): a = Matrix([3, 1, 1]) b = Matrix([-1, 2, 1]) c = Matrix([2, -2, 5]) self.assertEqual(cos(b - a, c - a), 1 / sqrt(17 * 26)) self.assertEqual(cos(a - b, c - b), 16 / sqrt(17 * 41)) self.assertEqual(cos(a - c, b - c), 25 / sqrt(26 * 41)) if __name__ == '__main__': main()

Kamimura's blog

2020年1月6日月曜日

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