数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 基底 - 実関数のなすベクトル空間、直線、累乗、指数関数、三角関数(正弦と余弦、倍角)、微分、導関数、関数の対、一次独立

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_1+x_{2}t=0\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\left(x_1+x_{2}t\right)=0\\ x_2=0\\ x_1=0\end{array}$

      よって1次独立。

   2. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_{1}t+x_2{t}^2=0\\ t\left(x_1+x_{2}t\right)=0\\ x_1+x_{2}t=0\\ x_1=x_2=0\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_{1}t+x_2{t}^4=0\\ t\left(x_1+x_2{t}^3\right)=0\\ x_1+x_2{t}^3=0\\ 3x_2{t}^2=0\\ x_1=0\\ x_2=0\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_1{e}^t+x_{2}t=0\\ x_1{e}^t+x_2=0\\ x_1{e}^t=0\\ x_1=x_2=0\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_{1}t{e}^t+x_2{e}^{2t}=0\\ e^t\left(x_{1}t+x_2{e}^t\right)=0\\ x_{1}t+x_2{e}^t=0\\ x_1=x_2=0\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_1\sin t+x_2\cos t=0\\ x_1\cos t-x_2\sin t=0\\ \{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2\sin t+x_2^2\cos t=0\\ x_1^2\cos t-x_1{x}_2\sin t=0\end{array}\\ \left(x_1^2+x_2^2\right)\cos t=0\\ x_1^2+x_2^2=0\\ x_1=x_2=0\end{array}$
   7. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_{1}t+x_2\sin t=0\\ x_1+x_2\cos t=0\\ -x_2\sin t=0\\ x_2=0\\ x_1=0\end{array}$
   8. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_1\sin t+x_2\sin 2t=0\\ x_1\sin t+2x_2\sin t\cos t=0\\ \sin t\left(x_1+2x_2\cos t\right)=0\\ x_1+2x_2\cos t=0\\ -2x_2\sin t=0\\ x_2=0\\ x_1=0\end{array}$
   9. 
      
      $\begin{array}{l}{x}_1\cos t+x_2\cos 3t=0\\ x_1\cos t+x_2\left(\cos t\cos 2t-\sin t\sin 2t\right)=0\\ \left(\cos t\right)\left(x_1+x_2\cos 2t\right)-x_2\left(\sin t\right)2\sin t\cos t=0\\ \cos t\left(x_1+x_2\cos 2t-2x_2{\sin }^{2}t\right)=0\\ x_1+x_2\cos 2t-2x_2{\sin }^{2}t=0\\ x_1+x_2\left({\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t\right)-2x_2{\sin }^{2}t=0\\ x_1+x_2\left(1-2{\sin }^{2}t\right)-2x_2{\sin }^{2}t=0\\ x_1+x_2-4x_2{\sin }^{2}t=0\\ x_1+x_2-4x_2\frac{1-\cos 2t}{2}=0\\ x_1+x_2-2x_2+2x_2\cos 2t=0\\ -4x_2\sin 2t=0\\ x_2=0\\ x_1=0\end{array}$