2020年1月20日月曜日

学習環境

代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(因数分解と分数式)、練習問題の問2の解答を求めてみる。



    1. x 4 - y 4 = x 2 + y 2 x 2 - y 2 = x 2 + y 2 x + y x - y x 3 - y 3 = x - y x 2 + x y + y 2

      よって、最大公約数は

      x - y

      最小公倍数は

      x 2 + x y + y 2 x 2 + y 2 x + y x - y

    2. 2 a b - a 2 - b 2 + c 2 = c 2 - a - b 2 = a - b + c - a + b + c a 2 - b 2 + c 2 + 2 a c = a + c 2 - b 2 = a + b + c a - b + c a - b + c a + b + c - a + b + c a - b + c

    3. x 4 - 27 x 2 y 2 + y 4 = x 2 - y 2 2 - 25 x 2 y 2 = x 2 - y 2 2 - 5 x y 2 = x 2 + 5 x y - y 2 x 2 - 5 x y - y 2 x 2 + 5 x y - y 2 x 4 - 27 x 2 y 2 + y 4

    4. 4 a 2 - 9 = 2 a - 3 2 a + 3 6 a 2 + 5 a - 6 = 2 a + 3 3 a - 2 6 a 2 + 13 a + 6 = 2 a + 3 3 a + 2 2 a + 3 2 a - 3 2 a + 3 3 a + 2 3 a - 2 = 4 a 2 - 9 9 a 2 - 4 = 36 a 4 - 97 a 2 + 36

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, gcd, lcm

print('2.')

x, y, a, b, c = symbols('x, y, a, b, c', real=True)


class MyTest(TestCase):
    def test1(self):
        exprs = (x ** 4 - y ** 4, x ** 3 - y ** 3)
        self.assertEqual(gcd(exprs), x - y)
        self.assertEqual(lcm(exprs),
                         ((x ** 2 + x * y + y ** 2) * (x ** 2 + y ** 2) * (x + y) * (x - y)).expand())

    def test2(self):
        exprs = (2 * a * b - a ** 2 - b ** 2 + c ** 2,
                 a ** 2 - b ** 2 + c ** 2 + 2 * a * c)
        self.assertEqual(gcd(exprs), a - b + c)
        self.assertEqual(lcm(exprs),
                         ((a + b + c) * (- a + b + c) * (a - b + c)).expand())

    def test3(self):
        exprs = (x ** 4 - 27 * x ** 2 * y ** 2 +
                 y ** 4, x ** 2 + 5 * x * y - y ** 2)
        self.assertEqual(gcd(exprs), x ** 2 + 5 * x * y - y ** 2)
        self.assertEqual(lcm(exprs), (x ** 4 - 27 * x ** 2 * y ** 2 + y ** 4))

    def test4(self):
        exprs = (4 * a ** 2 - 9,
                 6 * a ** 2 + 5 * a - 6,
                 6 * a ** 2 + 13 * a + 6)
        self.assertEqual(gcd(exprs), 2 * a + 3)
        self.assertEqual(lcm(exprs), 36 * a ** 4 - 97 * a ** 2 + 36)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py -v
2.
test1 (__main__.MyTest) ... ok
test2 (__main__.MyTest) ... ok
test3 (__main__.MyTest) ... ok
test4 (__main__.MyTest) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 4 tests in 0.103s

OK
%

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