数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 和と直和 - 沢山存在する直和

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、5(和と直和)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   • 
     

     w の元は

     $x\left(2,1\right)=\left(2x,x\right)$

     U の元は

     $y\left(0,1\right)=\left(0,y\right)$

     と表すことができる。

     また、

     $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x=0\\ y=x\end{array}\\ x=0\\ y=0\end{array}$

     よって、

     $W\cap U=\left\{O\right\}$

     また、 V の任意の元(a, b)について、

     $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}a=2x\\ b=x+y\end{array}\\ x=\frac{a}{2}\\ b=\frac{a}{2}+y\\ y=b-\frac{a}{2}\end{array}$

     なので、 V の元は W と U の元の和として一通りに表される。

     よって、 V は W と U の直和である。

   • 
     
     $\begin{array}{l}x\left(2,1\right)=\left(2x,x\right)\\ y\left(1,1\right)=\left(y,y\right)\\ 2x=y\\ x=y\\ 2y=y\\ y=0\\ x=0\\ W\cap U=\left\{O\right\}\\ \{\begin{array}{l}a=2x+y\\ b=x+y\end{array}\\ y=b-x\\ a=2x+b-x\\ x=a-b\\ y=b-\left(a-b\right)=-a+2b\end{array}$

     （証明終）