数学 - 線形代数学 - 行列 - 1次方程式 - n未知数の1次同次方程式の解の集合、ベクトル空間、加法、スカラー倍

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、1(1次方程式)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}X=\left(x_1,\dots ,x_n\right)\\ Y=\left(y_1,\dots ,y_n\right)\end{array}$

   を 連立1 次同次方程式の 任意の2つの解とする。
   また、

   $a$

   を体 K の任意の元とする。

   $\begin{array}{l}X+Y=\left(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n\right)\\ \sum _{k=1}^n\left(x_k+y_k\right)A^k\\ =\sum _{k=1}^n{x}_k{A}^k+\sum _{k=1}^n{y}_k{A}^k\\ =O+O\\ =O\end{array}$

   よって、 加法について閉じている。

   $\begin{array}{l}aX=\left(a{x}_1,\dots ,a{x}_n\right)\\ \sum _{k=1}^{n}a{x}_k{A}^k\\ =a\sum _{k=1}^n{x}_k{A}^k\\ =aO\\ =O\end{array}$

   よって、 n 未知数の連立1次円次方程式の解の集合は、 K の上のベクトル空間をなす。

   （証明終）