数学 - 代数学 - 因数分解と分数式 - 比例式

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(因数分解と分数式)、練習問題の問7の解答を求めてみる。

7. 
   

   比例式の値を k とする。

   $\frac{bz-cy}{b-c}=\frac{cx-az}{c-a}=k$

   このとき、

   $\begin{array}{l}bz-cy=k\left(b-c\right)\\ cx-az=k\left(c-a\right)\\ y=\frac{bz-k\left(b-c\right)}{c}\\ x=\frac{k\left(c-a\right)+az}{c}\\ \frac{ay-bx}{a-b}\\ =\frac{1}{a-b}·\frac{a\left(bz-k\left(b-c\right)\right)-b\left(k\left(c-a\right)+az\right)}{c}\\ =\frac{k\left(-a\left(b-c\right)-b\left(c-a\right)\right)}{\left(a-b\right)c}\\ =\frac{kc\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)c}\\ =k\end{array}$

   よって、

   $\frac{bz-cy}{b-c}=\frac{cx-az}{c-a}=\frac{ay-bx}{a-b}$

   （証明終）