数学 - 代数学 - 因数分解と分数式 - 連比 | Kamimura's blog

2020年1月26日日曜日

数学 - 代数学 - 因数分解と分数式 - 連比

代数への出発
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学習環境

代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(因数分解と分数式)、練習問題の問8の解答を求めてみる。

$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k$

とおくと、

$\begin{array}{l} a = k x \\ b = k y \\ c = k z \\ \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ = \frac{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2} + k^{2} z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ = k^{2} \\ \frac{a b + b c + c a}{x y + y z + z x} \\ = \frac{k^{2} x y + k^{2} y z + k^{2} z x}{x y + y z + z x} \\ = k^{2} \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) : (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = (a b + b c + c a) : (x y + y z + z x) \end{array}$

（証明終）

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