数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 剰余、二重帰納法

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録2(帰納法)の練習問題4を求めてみる。

$\begin{array}{l} n \geq 2 \\ n (n^{2} + 5) \\ = n^{2} + 5 n \\ = (n - 1) ({(n - 1)}^{2} + 5) + 3 n^{2} - 3 n - 6 \\ = (n - 1) ({(n - 1)}^{2} + 5) + 3 (n^{2} - n - 2) \\ = (n - 1) ({(n - 1)}^{2} + 5) + 3 (n - 2) (n + 1) \end{array}$

また、

$3 (2 - 2) (2 + 1) = 0 = 6 \cdot 0$

で、

$\begin{array}{l} n \geq 3 \\ 3 (n - 2) (n + 1) \\ = 3 (n^{2} - n - 2) \\ = 3 ((n - 1) - 2) ((n - 1) + 1) + 3 \cdot 2 n \\ = 3 ((n - 1) - 2) ((n - 1) + 1) + 6 n \end{array}$

よって、帰納法により、すべての2以上の整数に対して、

$3 (n - 2) (n + 1)$

は6で割り切れる。

ゆえに、再び帰納法により、すべての正の整数に対して

$n (n^{2} + 5)$

は6で割り切れる。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, summation

print('4.')

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
f = n * (n ** 2 + 5)


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        for n0 in range(1, 100):
            self.assertTrue(f.subs({n: n0}) % 6 == 0)


p = plot(f, *[f.subs({n: n0}) for n0 in range(1, 7)],
         (n, 1, 6),
         show=False,
         legend=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py -v
4.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.060s

OK
%

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2019年12月10日火曜日

数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 剰余、二重帰納法

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