数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 正の値をとる半開区間で連続な関数、逆数、極限、発散、比較

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題7の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} {(x - a)}^{α} f (x) \geq M \\ f (x) \geq \frac{M}{{(x - a)}^{α}} \\ \int_{a}^{b} f (x) dx \geq M \int_{a}^{b} \frac{1}{{(x - a)}^{α}} d x \\ α \geq 1 \end{array}$
  
  この右辺について、
  
  $\begin{array}{l} \int_{a}^{b} \frac{1}{{(x - a)}^{α}} dx \\ = \int_{0}^{b - a} \frac{1}{x^{α}} dx \\ = \infty \end{array}$
  
  よって、
  
  $\int_{a}^{b} f = \infty$
  
  となり、正の無限大に発散するので収をしない。
  
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} 0 < α \leq 1 \\ x^{α} f (x) \geq M \\ f (x) \geq \frac{M}{x^{α}} \\ \int_{a}^{b} f (x) dx \geq M \int_{a}^{b} \frac{1}{x^{α}} dx \\ \int_{a}^{b} \frac{1}{x^{α}} d x = + \infty \end{array}$
  
  よって、積分
  
  $\int_{a}^{b} f (x) dx$
  
  は収束しない。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, summation, plot, Limit, Integral, oo print('7.') a = 2 b = 3 x = symbols('x') f = x ** 2 + 1 / (x - a) alpha = 1 g = (x - a) ** alpha * f m = 1 class MyTestCase(TestCase): def test_a(self): If = Integral(f, (x, a, b)) self.assertEqual(If.doit(), oo) def test_b(self): If = Integral(f, (x, a, oo)) self.assertEqual(If.doit(), oo) p = plot((f, (x, a + 0.1, a + 5)), (m, (x, a, a + 5)), ylim=(0, 50), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample7.png') if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

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2019年12月7日土曜日

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