2019年12月21日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、6(複素数)、練習問題7の解答を求めてみる。



    1. e i θ 1 + θ 2 = cos θ 1 + θ 2 + i sin θ 1 + θ 2 = cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 = cos θ 1 + i sin θ 1 cos θ 2 + i sin θ 2 = e i θ 1 · e i θ 2 z = a + b i z = 1 a 2 + b 2 = 1 z = a + b i = a 2 + b 2 a a 2 + b 2 + i h a 2 + b 2 cos t = a a 2 + b 2 sin t = b a 2 + b 2 z = a 2 + b 2 cos t + t sin t = cos t + i sin t = e i t

      (証明終)


    2. 任意の 零ではない複素数 z を

      z = a + b i a , b

      とおく。
      このとき、

      r = a 2 + b 2 cos θ = a a 2 + b 2 sin θ = b a 2 + b 2

      とすれば、

      z = a + b i = a 2 + b 2 a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 i = r cos θ + i sin θ = r e i θ

      また、 零については

      r = 0

      とおけば、

      0 = 0 · e i θ

      (証明終)


    3. a より

      z 1 z 2 = r 1 e i θ 1 r 2 e i θ 2 = r 1 r 2 e i θ 1 · e i θ 2 = r 1 r 2 e i θ 1 + θ 2

      (証明終)


    4. 任意の複素数 z を

      z = r e i θ = r sin θ + i cos θ

      とおく。

      このとき、

      r 1 n e i θ n n = r 1 n cos θ n + i sin θ n n = r cos θ + i sin θ = z

      また、 三角関数、正弦と余弦の周期と考えれば、

      cos θ n + 2 m π = cos θ n sin θ n + 2 m π = sin θ n

      なので、

      r 1 n cos θ n + 2 m π + i sin θ n + 2 n π n = z r cos θ + 2 m n π + i sin θ + 2 m n π = z

      である。
      よって、

      r cos θ + 2 m n π + i sin θ + 2 m n π = z m = 0 , , n - 1

      ゆえに、

      r 1 n cos 1 n θ + 2 m n π + i sin 1 n θ + 2 m n π n = z m = 0 , , n - 1

      なので、

      ω n = z

      と満たす 異なる複素数はちょうと n 個存在する。

      (証明終)

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