数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 正方形の四隅を切り取って最も大きな箱を作る - 定直線、同じ側の2点、線分の長さ、最小値

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問13.の解答を求めてみる。

13. 
    

    点 A 、 B、 C をそれぞれ

    $\begin{array}{l}A=\left(0,a_2\right)\\ B=\left(b_1,b_2\right)\\ a_2>0\\ b_1>0\\ b_2>0\\ C=\left(x,0\right)\end{array}$

    とおく。

    このとき、

    $\begin{array}{l}{\stackrel{-}{AC}}^2+{\stackrel{-}{BC}}^2\\ =x^2+a_2^2+{\left(x-b_1\right)}^2+b_2^2\end{array}$

    この x についての 関数 f の導関数は、

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =2x+2\left(x-b_1\right)\\ =2\left(2x-b_1\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=0\\ x=\frac{b_1}{2}\end{array}$

    よって、最小であるためには、

    定直線に対する B の対称点と A を通る直線と定直点との交点をえらべばよい。

    （幾何学的に考えたものと一致していることを確認できた。）