数学 - Python - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 加法定理 - 三角関数の諸公式の正接 - 正弦と余弦、2倍角、半角

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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の正接の問26の解答を求めてみる。

26. 
    
    $\begin{array}{l}2n\pi \le \alpha \le 2n\pi +\frac{\pi }{2}\\ \cos \left(2\alpha \right)\\ ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ =2{\cos }^2\alpha -1\\ =\frac{2}{9}-1\\ =-\frac{7}{9}\\ \sin \left(2\alpha \right)\\ =\sqrt{1-{\cos }^2\left(2\alpha \right)}\\ =\sqrt{1-{\left(\frac{7}{9}\right)}^2}\\ =\sqrt{\frac{81-49}{9^2}}\\ =\frac{\sqrt{32}}{9}\\ =\frac{4\sqrt{2}}{9}\\ n\pi \le \frac{\alpha }{2}\le n\pi +\frac{\pi }{4}\\ {\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ =\frac{1-\cos \alpha }{2}\\ =\frac{1-\frac{1}{3}}{2}\\ =\frac{1}{3}\\ \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\\ {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ =\frac{\cos \alpha +1}{2}\\ =\frac{\frac{1}{3}+1}{2}\\ =\frac{2}{3}\\ \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, Rational, sin, cos, pi

print('26.')

n = symbols('n', integer=True)
alpha = symbols('α')
alpha0 = [t for t in solve(
    cos(alpha) - Rational(1, 3), alpha) if 0 <= t <= pi / 2][0]

for n in [2, Rational(1, 2)]:
    for f in [sin, cos]:
        t = f(n * alpha0)
        for o in [t, float(t)]:
            pprint(o)
            print()

p = plot(*[f(n * alpha)
           for n in [1, 2, Rational(1, 2)]
           for f in [sin, cos]],
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample26.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample26.py
26.
sin(2⋅acos(1/3))

0.6285393610547089

cos(2⋅acos(1/3))

-0.7777777777777778

   ⎛acos(1/3)⎞
sin⎜─────────⎟
   ⎝    2    ⎠

0.5773502691896257

   ⎛acos(1/3)⎞
cos⎜─────────⎟
   ⎝    2    ⎠

0.816496580927726

%