2019年11月5日火曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、2(極形式)の練習問題4を求めてみる。


  1. α = r cos θ + i sin θ

    とおく。

    α 1 n = r cos θ + i sin θ 1 n = r cos θ + 2 k π + i sin θ + 2 k π 1 n = r n cos θ n + 2 k π n + i sin θ n + 2 k π n k = 0 , , n - 1

    また、 k の値について、

    i j 2 i π n - 2 j π n = 2 π i - j n 2 π l l

    よって、 n 個の異なる複素数があり、極形式は上記のように表される。

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, sqrt, I, sin, cos, root, pi

print('4.')

r, theta = symbols('r, θ', real=True)
a = r * exp(I * theta)
b = r * (cos(theta) + I * sin(theta))
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
for z in [a, b]:
    pprint((z ** (1 / n)).expand())
    print()

n = 5
zs = [root(r, n) * (cos(theta / n + 2 * k * pi / n) + I *
                    sin(theta / n + 2 * k * pi / n)) for k in range(n + 1)]
for z in zs:
    for o in [z, z ** n]:
        pprint(o)
        print()

zs = [root(r, n) * exp(I * (theta / n + 2 * k * pi / n)) for k in range(n + 1)]
for z in zs:
    for o in [z, z ** n]:
        pprint(o)
        print()
    print((z ** n).expand() == a)
    print()

for z1 in zs:
    for z2 in zs:
        pprint(z1 == z2)

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py 
4.
   ________
n ╱    ⅈ⋅θ 
╲╱  r⋅ℯ    

n _______________________
╲╱ ⅈ⋅r⋅sin(θ) + r⋅cos(θ) 

5 ___ ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟
      ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠

                     5
  ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞ 
r⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠ 

5 ___ ⎛     ⎛θ   2⋅π⎞      ⎛θ   2⋅π⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─ + ───⎟ + cos⎜─ + ───⎟⎟
      ⎝     ⎝5    5 ⎠      ⎝5    5 ⎠⎠

                                 5
  ⎛     ⎛θ   2⋅π⎞      ⎛θ   2⋅π⎞⎞ 
r⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─ + ───⎟ + cos⎜─ + ───⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5    5 ⎠      ⎝5    5 ⎠⎠ 

5 ___ ⎛     ⎛θ   3⋅π⎞        ⎛θ   3⋅π⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜- sin⎜─ + ───⎟ + ⅈ⋅cos⎜─ + ───⎟⎟
      ⎝     ⎝5    10⎠        ⎝5    10⎠⎠

                                   5
  ⎛     ⎛θ   3⋅π⎞        ⎛θ   3⋅π⎞⎞ 
r⋅⎜- sin⎜─ + ───⎟ + ⅈ⋅cos⎜─ + ───⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5    10⎠        ⎝5    10⎠⎠ 

5 ___ ⎛       ⎛θ   π⎞      ⎛θ   π⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜- ⅈ⋅sin⎜─ + ─⎟ - cos⎜─ + ─⎟⎟
      ⎝       ⎝5   5⎠      ⎝5   5⎠⎠

                               5
  ⎛       ⎛θ   π⎞      ⎛θ   π⎞⎞ 
r⋅⎜- ⅈ⋅sin⎜─ + ─⎟ - cos⎜─ + ─⎟⎟ 
  ⎝       ⎝5   5⎠      ⎝5   5⎠⎠ 

5 ___ ⎛   ⎛θ   π ⎞        ⎛θ   π ⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜sin⎜─ + ──⎟ - ⅈ⋅cos⎜─ + ──⎟⎟
      ⎝   ⎝5   10⎠        ⎝5   10⎠⎠

                               5
  ⎛   ⎛θ   π ⎞        ⎛θ   π ⎞⎞ 
r⋅⎜sin⎜─ + ──⎟ - ⅈ⋅cos⎜─ + ──⎟⎟ 
  ⎝   ⎝5   10⎠        ⎝5   10⎠⎠ 

5 ___ ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟
      ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠

                     5
  ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞ 
r⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠ 

       ⅈ⋅θ
       ───
5 ___   5 
╲╱ r ⋅ℯ   

   ⅈ⋅θ
r⋅ℯ   

True

         ⎛θ   2⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   2⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ   4⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   4⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ   6⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   6⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ   8⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   8⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ      ⎞
       ⅈ⋅⎜─ + 2⋅π⎟
5 ___    ⎝5      ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ      ⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + 2⋅π⎟
       ⎝5      ⎠
r⋅ℯ             

True

True
False
False
False
False
False
False
True
False
False
False
False
False
False
True
False
False
False
False
False
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True
False
False
False
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False
True
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False
False
False
False
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True
%

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