数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 複素数 - 複素数値関数 - 微分、極形式

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、3(複素数値関数)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}F\left(t\right)=f\left(t\right)+ig\left(t\right)\\ f\left(t\right),g\left(t\right)\in \text{ℝ},\end{array}$

   とおく。
   このとき、

   $\begin{array}{l}F\text{'}\left(t\right)=f\text{'}\left(t\right)+ig\text{'}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^{F\left(t\right)}\\ =\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(e^{f\left(t\right)+ig\left(t\right)}\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^{f\left(t\right)}{e}^{ig\left(t\right)}\\ =e^{f\left(t\right)}f\text{'}\left(t\right)e^{ig\left(t\right)}+e^{f\left(t\right)}\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\cos \left(g\left(t\right)\right)+i\sin \left(g\left(t\right)\right)\right)\\ =f\text{'}\left(t\right)e^{f\left(t\right)+ig\left(t\right)}+e^{f\left(t\right)}\left(-\sin \left(g\left(t\right)\right)g\text{'}\left(t\right)+i\left(cos\left(g\left(t\right)\right)\right)g\text{'}\left(t\right)\right)\\ =f\text{'}\left(t\right)e^{F\left(t\right)}+e^{f\left(t\right)}g\text{'}\left(t\right)\left(-\sin \left(g\left(t\right)\right)+icos\left(g\left(t\right)\right)\right)\\ =f\text{'}\left(t\right)e^{F\left(t\right)}+g\text{'}\left(t\right)e^{f\left(t\right)}i\left(\cos \left(g\left(t\right)\right)+i\sin \left(g\left(t\right)\right)\right)\\ =f\text{'}\left(t\right)e^{F\left(t\right)}+g\text{'}\left(t\right)e^{f\left(t\right)}{e}^{ig\left(t\right)}\\ =f\text{'}\left(t\right)e^{F\left(t\right)}+g\text{'}\left(t\right)e^{f\left(t\right)+ig\left(t\right)}\\ =f\text{'}\left(t\right)e^{F\left(x\right)}+g\text{'}\left(t\right)e^{F\left(t\right)}\\ =\left(f\text{'}\left(t\right)+g\text{'}\left(t\right)\right)e^{F\left(t\right)}\\ =F\text{'}\left(t\right)e^{F\left(t\right)}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, cos, sin, exp, I, Derivative

print('1.')

t = symbols('t', real=True)
f = cos(t) + I * sin(t)


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(Derivative(exp(f)).doit(),
                         Derivative(f, t, 1).doit() * exp(f))


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.006s

OK
%