数学 - Python - 解析学 - 積分法 - リーマン積分 - リーマン和の極限としての積分、区間、分割

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.1(リーマン積分)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}{x}_i=a+\frac{i\left(b-a\right)}{n}\\ \left(i=0,\dots ,n\right)\end{array}$

   とし、 分割 P を

   $P(x_0,\dots ,x_n)$

   と すると、

   $\begin{array}{l}n\to \infty \\ \Rightarrow d\left(P\right)\\ =\max \left\{\Delta x_1,\dots ,\Delta x_n\right\}\\ =\frac{\left(b-a\right)}{n}\\ \to 0\end{array}$

   よって、 定理7より

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(a+\frac{i\left(b-a\right)}{n}\right)·\frac{b-a}{n}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\Delta x_i\\ =\underset{d\left(P\right)\to 0}{\lim }S\left(P,f\right)\\ =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\end{array}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Limit, summation, oo, Integral, plot

print('1.')

x, a, b = symbols('x, a, b')
i, n = symbols('i, n', integer=True)
f = x ** 2
s = summation(f.subs({x: a + i * (b - a) / n}) * (b - a) / n, (i, 1, n))
l = Limit(s, n, oo)
r = Integral(f, (x, a, b))

for o in [l, l.doit(), r, r.doit(), l.doit() == r.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {a: 1, b: 2}
fs = [s.subs({a: 1, b: 2, n: n0}) for n0 in range(1, 10)]
p = plot(r.subs(d).doit(), *fs,
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py
1.
    ⎛            ⎛ 2    ⎞      ⎛ 3    2    ⎞                 ⎛ 2    ⎞         
    ⎜          3 ⎜n    n⎟    3 ⎜n    n    n⎟             2   ⎜n    n⎟      2  
    ⎜       2⋅a ⋅⎜── + ─⎟   a ⋅⎜── + ── + ─⎟          4⋅a ⋅b⋅⎜── + ─⎟   3⋅a ⋅b
    ⎜   3        ⎝2    2⎠      ⎝3    2    6⎠    2            ⎝2    2⎠         
lim ⎜- a  + ───────────── - ──────────────── + a ⋅b - ─────────────── + ──────
n─→∞⎜              2                3                         2               
    ⎝             n                n                         n                

 ⎛ 3    2    ⎞          ⎛ 2    ⎞          ⎛ 3    2    ⎞      ⎛ 3    2    ⎞⎞
 ⎜n    n    n⎟        2 ⎜n    n⎟        2 ⎜n    n    n⎟    3 ⎜n    n    n⎟⎟
⋅⎜── + ── + ─⎟   2⋅a⋅b ⋅⎜── + ─⎟   3⋅a⋅b ⋅⎜── + ── + ─⎟   b ⋅⎜── + ── + ─⎟⎟
 ⎝3    2    6⎠          ⎝2    2⎠          ⎝3    2    6⎠      ⎝3    2    6⎠⎟
────────────── + ─────────────── - ──────────────────── + ────────────────⎟
    3                    2                   3                    3       ⎟
   n                    n                   n                    n        ⎠

   3    3
  a    b 
- ── + ──
  3    3 

b      
⌠      
⎮  2   
⎮ x  dx
⌡      
a      

   3    3
  a    b 
- ── + ──
  3    3 

True

%