数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 積分の性質 - スカラー倍の積分、積分のスカラー倍、積分可能性、等式の証明

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $g=cf$

   とおく。

   閉区間

   $\left[a,b\right]$

   の任意の分割

   $P=\left(x_0,x_1,\dots ,x_n\right)$

   に対し、

   $\begin{array}{l}\left[x_{i-1},x_i\right]\\ \left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

   における 関数

   $g$

   の上限、下限をそれぞれ、

   $M_i,m_i$

   とすれば、

   $\begin{array}{l}L\left(P,g\right)=cL\left(P,g\right)\\ U\left(P,g\right)=cU\left(P,g\right)\end{array}$

   問題の仮定により、 f は閉区間

   $\left[a,b\right]$

   で積分可能なので、

   $c>0$

   のとき、 任意の正の 実数

   $\epsilon >0$

   に対して、

   $U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)<\frac{\epsilon }{c}$

   が成り立つので、

   $\begin{array}{l}U\left(P,g\right)-L\left(P,g\right)\\ =cU\left(P,f\right)-cL\left(P,f\right)\\ =c\left(U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)\right)\\ <c·\frac{\epsilon }{c}\\ <\epsilon \end{array}$

   g は積分可能である。

   $c=0$

   の場合、

   $cf=0$

   なので積分可能である。

   $c<0$

   の場合、

   $U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)<-\frac{\epsilon }{c}$

   が成り立つので、

   $\begin{array}{l}U\left(P,g\right)-L\left(P,g\right)\\ =c\left(U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)\right)\\ <c\left(-\frac{\epsilon }{c}\right)\\ <\epsilon \end{array}$

   よって g は積分可能である。

   ゆえに、 c が定数のとき、 cf は積分可能である。

   また、

   $\begin{array}{l}{\int }_a^{b}cf=\underset{d\left(P\right)\to 0}{\lim }U\left(P,cf\right)\\ =c\underset{d\left(p\right)\to 0}{\lim }U\left(P,f\right)\\ =c{\int }_a^{b}f\end{array}$

   ゆえに、問題の等式は成り立つ。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, Function, Integral

print('1.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        x, a, b, c = symbols('x, a, b, c')
        f = Function('f')(x)
        g = c * f
        self.assertEqual(Integral(c * f, x, (a, b)).doit(),
                         c * Integral(f, x, (a, b)).doit())


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.339s

OK
%