数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - 複素数 - 複素数値関数 - 定数関数、微分、零、不定積分、一意性、実部、虚部

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、3(複素数値関数)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   

   複素値関数を

   $\begin{array}{l}F\left(t\right)=f_1\left(t\right)+i{f}_2\left(t\right)\\ f_1\left(t\right),f_2\left(t\right)\in \text{ℝ}\end{array}$

   とおく。
   問題の仮定

   $\begin{array}{l}F\text{'}=0\\ f_1\text{'}+i{f}_2\text{'}=0\end{array}$

   より、

   $f_1\text{'}=f_2\text{'}=0$

   よって、

   $f_1,f_2$

   は定数、 すなわち

   $F$

   は定数である。

   $\begin{array}{l}G\left(t\right)=g_1\left(t\right)+i{g}_2\left(t\right)\\ g_1\left(t\right),g_2\left(t\right)\in \text{ℝ}\end{array}$

   とおく。

   $G\text{'}=F\text{'}$

   と仮定すると、

   $\begin{array}{l}{g}_1\text{'}+i{g}_2\text{'}=f_1\text{'}+i{f}_2\text{'}\\ \left(f_1\text{'}-g_1\text{'}\right)+i\left(f_2\text{'}-g_2\text{'}\right)=0\\ f_1\text{'}-g_1\text{'}=0,f_2\text{'}-g_2\text{'}=0\end{array}$

   よって、

   $F\text{'}-G\text{'}=0$

   ゆえに、

   $F-G$

   は定数なので、それを C とおけば、

   $\begin{array}{l}F-G=C\\ F=G+C\end{array}$

   （証明終）