数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 関数値の変動と導関数 - 半開区間、定数値関数、十分条件

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、6.(関数値の変動と導関数)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   

   区間

   $\left[a,b\right)$

   について。

   左端以外の区間の各点 x で

   $f\text{'}\left(x\right)=0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}0<\theta <1\\ a<x<b\\ f\left(x\right)\\ =f\left(a\right)+f\text{'}\left(a+\theta \left(x-a\right)\right)\left(x-a\right)\\ =f\left(a\right)+0·\left(x-a\right)\\ =f\left(a\right)\end{array}$

   よってこの区間で定数値関数である。

   区間

   $\left[a,+\infty \right)$

   について、 左端以外の区間の各点で

   $f\text{'}\left(x\right)=0$

   ならば、

   $\begin{array}{l}0<\theta <1\\ a<x\\ f\left(x\right)\\ =f\left(a\right)+f\text{'}\left(a+\theta \left(x-a\right)\right)\left(x-a\right)\\ =f\left(a\right)+0·\left(x-a\right)\\ =f\left(a\right)\end{array}$

   よってこの区間で定数値関数である。

   区間

   $\left(a,b\right]$

   について、 右端以外の区間の各点で

   $f\text{'}\left(x\right)=0$

   ならば、

   $\begin{array}{l}0<\theta <1\\ a<x<b\\ f\left(x\right)\\ =f\left(b\right)+f\text{'}\left(b+\theta \left(x-b\right)\right)\left(x-b\right)\\ =f\left(b\right)\end{array}$

   よって区間で定数値関数である。

   区間、

   $\left(-\infty ,b\right]$

   について、右端以外の区間の各点で

   $f\text{'}\left(x\right)=0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}0<\theta <1\\ x<b\\ f\left(x\right)\\ =f\left(b\right)+f\text{'}\left(b+\theta \left(x-b\right)\right)\left(x-b\right)\\ =f\left(b\right)\end{array}$

   よって、 この区間で定数値関数である。

   （証明終）