数学 - 解析学 - 積分法 - 積分の性質 - 絶対値、積分可能性、有理数、無理数

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   関数 f を

   $\begin{array}{l}f:\left[a,b\right]\to \text{ℝ}\\ f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1\left(x\notin Q\right)\\ -1\left(x\in Q\right)\end{array}\end{array}$

   と定めると、

   $\begin{array}{l}{\int }_a^b\left|f\right|\\ ={\int }_a^{b}1\\ =b-a\end{array}$

   となり積分可能であるが、

   ${\int }_a^{b}f$

   について、 閉区間

   $\begin{array}{l}a\ne b\\ \left[a,b\right]\end{array}$

   の任意の分割 P に対して、

   $\begin{array}{l}U\left(P,f\right)=\left(b-a\right)·1=b-a\\ L\left(P,f\right)\le 0·\left(b-a\right)=0\end{array}$

   となり、 積分可能ではない。

   （証明終）