数学 - Python - 線形代数学 - 群 - 巡回群 - 複素数の範囲での1の累乗根、位数、三角関数(正弦と余弦)

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(巡回群)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   1の複素数における n 乗根は、

   $\begin{array}{l}\cos \left(\frac{2k}{n}\pi \right)+i\sin \left(\frac{2k}{n}\pi \right)\\ k=0,\dots ,n-1\end{array}$

   実際に、

   $\begin{array}{l}{\left(\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\right)}^n\\ =\cos \left(k\left(2\pi \right)\right)+i\sin \left(k\left(2\pi \right)\right)\\ =1\end{array}$

   この位数は n で、任意の元は

   $\begin{array}{l}\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\\ ={\left(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}\right)}^k\end{array}$

   と表すことができるので巡回群である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, sqrt, tan, pi

print('1.')

x = symbols('x')
f = sqrt(1 - x ** 2)
n = 5
fs = [tan(2 * k * pi / n) * x for k in range(n)]
p = plot((f, (x, -1, 1)),
         (-f, (x, -1, 1)),
         *[(f, (x, -2, 2)) for f in fs],
         ylim=(-2, 2),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1,py
1.
%