数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数 - 絶対値、累乗(べき乗、平方)、累乗根(立方根)、至る所で連続

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、1.(連続関数)、問1、2.の解答を求めてみる。

1. 
   
   $x<0$

   のとき、

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)\\ =\left|x\right|\\ =-x\\ f\text{'}\left(x\right)=-1\end{array}$

   よって 微分可能なので連続である。

   $x>0$

   のときも 同様。

   $x=0$

   の場合について。

   $f\left(0\right)=0$

   また、

   $\begin{array}{l}h>0\\ h\to 0\Rightarrow f\left(0+h\right)=f\left(h\right)\to 0\\ h<0\\ h\to 0\Rightarrow f\left(0+h\right)=f\left(h\right)\to 0\end{array}$

   よって、 0においても連続である。

   ゆえに、

   $\left|x\right|$

   はいたるところで連続である。

   （証明終）

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}\\ =\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}\end{array}$

   よって、

   $x\ne 0$

   で微分可能なので連続である。

   $x=0$

   の場合について。

   $\begin{array}{l}f\left(0\right)=0^{\frac{2}{3}}=0\\ h\to 0\Rightarrow f\left(0+h\right)=h^{\frac{2}{3}}={\left(h^2\right)}^{\frac{1}{3}}\to 0\end{array}$

   よって、 連続である。

   ゆえに、 いたるところで連続である。

2.