数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数 - 絶対値、累乗根(立方根)、微分可能性、零点

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、1.(連続関数)、問3.の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}h>0,h\to 0\\ \Rightarrow \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}\\ =\frac{\left|h\right|}{h}\\ =1\\ \to 1\\ h<0,h\to 0\\ \Rightarrow \\ \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\frac{\left|h\right|}{h}\\ =\frac{-h}{h}\\ =-1\\ \to -1\end{array}$

   よって、 点

   $x=0$

   で

   $\left|x\right|$

   は微分可能ではない。

   （証明終）

   $\begin{array}{l}h>0,h\to 0\\ \Rightarrow \\ \frac{{\left(0+h\right)}^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\\ =\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\\ =\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}\\ \to \infty \\ h<0,h\to 0\\ \Rightarrow \\ \frac{{\left(0+h\right)}^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\\ =\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\end{array}$

   また、 定数の 範囲では負の累乗根は定義されない。
   よって、 点

   $x=0$

   において、関数

   $x^{\frac{1}{3}}$

   は微分も能ではない。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, solve, Rational, Limit

print('3.')

x, h = symbols('x, h')
f = abs(x)
g = x ** Rational(1, 3)

fl1 = Limit((f.subs({x: h}) - f.subs({x: 0})) / h, h, 0, dir='+').doit()
fl2 = Limit((f.subs({x: h}) - f.subs({x: 0})) / h, h, 0, dir='-').doit()
gl1 = Limit((g.subs({x: h}) - g.subs({x: 0})) / h, h, 0, dir='+').doit()
gl2 = Limit((g.subs({x: h}) - g.subs({x: 0})) / h, h, 0, dir='-').doit()

for o in [fl1, fl2, gl1, gl2]:
    pprint(o)
    print()

for o in [gl1, gl2]:
    pprint(o.is_real)
    print()


class MyTest(TestCase):
    def setUp(self):
        pass

    def tearDown(self):
        pass

    def test_abs(self):
        self.assertNotEqual(fl1, fl2)

    def test_cubic_root(self):
        self.assertNotEqual(gl1, gl2)


p = plot((f, (x, -5, 5)),
         (g, (x, 0, 5)),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py
3.
1

-1

∞

   3 ____
-∞⋅╲╱ -1 

True

False

..
----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.000s

OK
%