数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 導関数の求め方 - 楕円、内接する長方形、面積、最大値

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題24の解答を求めてみる。

24. 
    

    楕円に内接する長方形の頂点の1つの座標を

    $\begin{array}{l}\left(c,\sqrt{b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)}\right)\\ c>0\end{array}$

    とおく。

    長方形の面積は、

    $\begin{array}{l}S\left(c\right)\\ =2c·2\sqrt{b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)}\\ =4\left|b\right|\sqrt{c^2-\frac{c^4}{a^2}}\end{array}$

    よって、

    $f\left(c\right)=c^2-\frac{c^4}{a^2}$

    が晸大のときに面積の値は最大となる。

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(c\right)=2c-\frac{4}{a^2}{c}^3\\ =2c\left(1-\frac{2}{a^2}{c}^2\right)\\ =2c\left(1-\frac{\sqrt{2}}{a}c\right)\left(1+\frac{\sqrt{2}}{a}c\right)\\ f\text{'}\left(c\right)=0\\ c=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}\end{array}$

    よって、

    $c=\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$

    のとき、 長方形の面積は最大となり、その値は

    $\begin{array}{l}4·\frac{\left|ab\right|}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}·\frac{a^2}{2}}\\ =2\sqrt{2}\left|ab\right|\sqrt{1-\frac{1}{2}}\\ =2\left|ab\right|\end{array}$
    a

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, sqrt, solve

print('24.')

x = symbols('x')
a = 4
b = 2
f = sqrt(b ** 2 * (1 - x ** 2 / a ** 2))
g = 4 * b * x * sqrt(1 - x ** 2 / a ** 2)
d = Derivative(g, x, 1)
s = solve(d.doit())
for o in [d, d.doit().simplify(), s, g.subs({x: s[1]}) == 2 * a * b]:
    pprint(o)
    print()

p = plot((f, (x, -a, a)),
         (-f, (x, -a, a)),
         (sqrt(b ** 2 * (1 - s[1] ** 2/ a ** 2)), (x, -5, 5)),
         (-sqrt(b ** 2 * (1 - s[1] ** 2/ a ** 2)), (x, -5, 5)),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample24.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py
24.
  ⎛         ________⎞
  ⎜        ╱      2 ⎟
d ⎜       ╱      x  ⎟
──⎜8⋅x⋅  ╱   1 - ── ⎟
dx⎝    ╲╱        16 ⎠

   ⎛     2⎞ 
 4⋅⎝8 - x ⎠ 
────────────
   _________
  ╱       2 
╲╱  16 - x  

[-2⋅√2, 2⋅√2]

True

%