2019年10月11日金曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題24の解答を求めてみる。


  1. 楕円に内接する長方形の頂点の1つの座標を

    c , b 2 1 - c 2 a 2 c > 0

    とおく。

    長方形の面積は、

    S c = 2 c · 2 b 2 1 - c 2 a 2 = 4 b c 2 - c 4 a 2

    よって、

    f c = c 2 - c 4 a 2

    が晸大のときに面積の値は最大となる。

    f ' c = 2 c - 4 a 2 c 3 = 2 c 1 - 2 a 2 c 2 = 2 c 1 - 2 a c 1 + 2 a c f ' c = 0 c = ± a 2

    よって、

    c = a 2

    のとき、 長方形の面積は最大となり、その値は

    4 · a b 2 1 - 1 a 2 · a 2 2 = 2 2 a b 1 - 1 2 = 2 a b
    a

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, sqrt, solve

print('24.')

x = symbols('x')
a = 4
b = 2
f = sqrt(b ** 2 * (1 - x ** 2 / a ** 2))
g = 4 * b * x * sqrt(1 - x ** 2 / a ** 2)
d = Derivative(g, x, 1)
s = solve(d.doit())
for o in [d, d.doit().simplify(), s, g.subs({x: s[1]}) == 2 * a * b]:
    pprint(o)
    print()

p = plot((f, (x, -a, a)),
         (-f, (x, -a, a)),
         (sqrt(b ** 2 * (1 - s[1] ** 2/ a ** 2)), (x, -5, 5)),
         (-sqrt(b ** 2 * (1 - s[1] ** 2/ a ** 2)), (x, -5, 5)),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample24.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py
24.
  ⎛         ________⎞
  ⎜        ╱      2 ⎟
d ⎜       ╱      x  ⎟
──⎜8⋅x⋅  ╱   1 - ── ⎟
dx⎝    ╲╱        16 ⎠

   ⎛     2⎞ 
 4⋅⎝8 - x ⎠ 
────────────
   _________
  ╱       2 
╲╱  16 - x  

[-2⋅√2, 2⋅√2]

True

% 

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