2019年10月11日金曜日

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題11の解答を求めてみる。


  1. 写像 f、 g を

    f [ 1 a 0 1 ] = a g a = [ 1 a 0 1 ]

    とする。

    f [ 1 a 0 1 ] [ 1 b 0 1 ] = f [ 1 a + b 0 1 ] = a + b = f [ 1 a 0 1 ] + g [ 1 b 0 1 ]

    また、

    g a + b = [ 1 a + b 0 1 ] = [ 1 a 0 1 ] + [ 1 b 0 1 ] = g a + g b

    よって、 f、 g は準同形である。

    また、

    g f [ 1 a 0 1 ] = g a = [ 1 a 0 1 ] f g a = f [ 1 a 0 1 ] = a

    が成り立つので、

    f g g f

    は恒等写像である。

    よって、 K を体とする K の加法群は、

    [ 1 a 0 1 ] , a K

    の形の行列の乗法群と同形である。

    (証明終)

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