数学 - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 体、加法群、行列の乗法的な群、同形

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    

    写像 f、 g を

    $\begin{array}{l}f\left(\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\right)=a\\ g\left(a\right)=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

    とする。

    $\begin{array}{l}f\left(\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =f\left(\left[\begin{array}{cc}1& a+b\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =a+b\\ =f\left(\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\right)+g\left(\left[\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}g\left(a+b\right)\\ =\left[\begin{array}{cc}1& a+b\\ 0& 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right]\\ =g\left(a\right)+g\left(b\right)\end{array}$

    よって、 f、 g は準同形である。

    また、

    $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =g\left(a\right)\\ =\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\\ \left(f\circ g\right)\left(a\right)\\ =f\left(\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =a\end{array}$

    が成り立つので、

    $\begin{array}{l}f\circ g\\ g\circ f\end{array}$

    は恒等写像である。

    よって、 K を体とする K の加法群は、

    $\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right],a\in K$

    の形の行列の乗法群と同形である。

    （証明終）