数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数の微分と積分 - 無限等比級数

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、7(べき級数の微分と積分)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}\left|x\right|<1\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}f\left(x\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{\left(2n+1\right)x^{2n}}{2n+1}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n{\left(x^2\right)}^n\\ =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-x^2\right)}^n\\ =\frac{1}{1+x^2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, Derivative

print('4.')

x, n = symbols('x, n')
t = (-1) ** n * x ** (2 * n + 1) / (2 * n + 1)
f = summation(t, (n, 0, oo))
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()

for o in [f, f1]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([t.subs({n: k}) for k in range(m + 1)])


fs = [1 / (1 + x ** 2)] + [g(m) for m in range(9)]
p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py
4.
  ⎛⎧    atan(x)                         ⎞
  ⎜⎪    ───────       for x ≥ -1 ∧ x ≤ 1⎟
  ⎜⎪       x                            ⎟
  ⎜⎪                                    ⎟
  ⎜⎪  ∞                                 ⎟
  ⎜⎪ ____                               ⎟
  ⎜⎪ ╲                                  ⎟
x⋅⎜⎨  ╲       n  2⋅n                    ⎟
  ⎜⎪   ╲  (-1) ⋅x                       ⎟
  ⎜⎪   ╱  ──────────      otherwise     ⎟
  ⎜⎪  ╱    2⋅n + 1                      ⎟
  ⎜⎪ ╱                                  ⎟
  ⎜⎪ ‾‾‾‾                               ⎟
  ⎜⎪n = 0                               ⎟
  ⎝⎩                                    ⎠

  ⎛⎧              1        atan(x)                               ⎞            
  ⎜⎪          ────────── - ───────             for x ≥ -1 ∧ x ≤ 1⎟   ⎛⎧       
  ⎜⎪            ⎛ 2    ⎞       2                                 ⎟   ⎜⎪       
  ⎜⎪          x⋅⎝x  + 1⎠      x                                  ⎟   ⎜⎪       
  ⎜⎪                                                             ⎟   ⎜⎪       
  ⎜⎪⎧    1        atan(x)                                        ⎟   ⎜⎪⎧    at
  ⎜⎪⎪────────── - ───────  for x ≥ -1 ∧ x ≤ 1                    ⎟   ⎜⎪⎪    ──
  ⎜⎪⎪  ⎛ 2    ⎞       2                                          ⎟   ⎜⎪⎪      
  ⎜⎪⎪x⋅⎝x  + 1⎠      x                                           ⎟   ⎜⎪⎪      
  ⎜⎪⎪                                                            ⎟   ⎜⎪⎪  ∞   
x⋅⎜⎨⎪  ∞                                                         ⎟ + ⎜⎨⎪ ____ 
  ⎜⎪⎪ ____                                                       ⎟   ⎜⎪⎪ ╲    
  ⎜⎪⎨ ╲                                            otherwise     ⎟   ⎜⎪⎨  ╲   
  ⎜⎪⎪  ╲         n    2⋅n                                        ⎟   ⎜⎪⎪   ╲  
  ⎜⎪⎪   ╲  2⋅(-1) ⋅n⋅x                                           ⎟   ⎜⎪⎪   ╱  
  ⎜⎪⎪   ╱  ──────────────      otherwise                         ⎟   ⎜⎪⎪  ╱   
  ⎜⎪⎪  ╱    x⋅(2⋅n + 1)                                          ⎟   ⎜⎪⎪ ╱    
  ⎜⎪⎪ ╱                                                          ⎟   ⎜⎪⎪ ‾‾‾‾ 
  ⎜⎪⎪ ‾‾‾‾                                                       ⎟   ⎜⎪⎪n = 0 
  ⎜⎪⎩n = 0                                                       ⎟   ⎝⎩⎩      
  ⎝⎩                                                             ⎠            

                                                   
        atan(x)                                   ⎞
        ───────                 for x ≥ -1 ∧ x ≤ 1⎟
           x                                      ⎟
                                                  ⎟
an(x)                                             ⎟
─────       for x ≥ -1 ∧ x ≤ 1                    ⎟
 x                                                ⎟
                                                  ⎟
                                                  ⎟
                                                  ⎟
                                                  ⎟
    n  2⋅n                          otherwise     ⎟
(-1) ⋅x                                           ⎟
──────────      otherwise                         ⎟
 2⋅n + 1                                          ⎟
                                                  ⎟
                                                  ⎟
                                                  ⎟
                                                  ⎠
                                                   

⎛  1        ⎞
⎜──────, red⎟
⎜ 2         ⎟
⎝x  + 1     ⎠

(x, green)

⎛   3          ⎞
⎜  x           ⎟
⎜- ── + x, blue⎟
⎝  3           ⎠

⎛ 5    3           ⎞
⎜x    x            ⎟
⎜── - ── + x, brown⎟
⎝5    3            ⎠

⎛   7    5    3            ⎞
⎜  x    x    x             ⎟
⎜- ── + ── - ── + x, orange⎟
⎝  7    5    3             ⎠

⎛ 9    7    5    3            ⎞
⎜x    x    x    x             ⎟
⎜── - ── + ── - ── + x, purple⎟
⎝9    7    5    3             ⎠

⎛   11    9    7    5    3          ⎞
⎜  x     x    x    x    x           ⎟
⎜- ─── + ── - ── + ── - ── + x, pink⎟
⎝   11   9    7    5    3           ⎠

⎛ 13    11    9    7    5    3          ⎞
⎜x     x     x    x    x    x           ⎟
⎜─── - ─── + ── - ── + ── - ── + x, gray⎟
⎝ 13    11   9    7    5    3           ⎠

⎛   15    13    11    9    7    5    3             ⎞
⎜  x     x     x     x    x    x    x              ⎟
⎜- ─── + ─── - ─── + ── - ── + ── - ── + x, skyblue⎟
⎝   15    13    11   9    7    5    3              ⎠

⎛ 17    15    13    11    9    7    5    3            ⎞
⎜x     x     x     x     x    x    x    x             ⎟
⎜─── - ─── + ─── - ─── + ── - ── + ── - ── + x, yellow⎟
⎝ 17    15    13    11   9    7    5    3             ⎠

$